Algebra 3

Cursus Algebra (3)

inhoudsopgave
1. negatieve getallen, termen, factoren, rekenregels,vergelijkingen
2. afronden,functies,verhoudingen,wortels,ontbinden in factoren,zwaartelijn formule
4. kwadratische functies,ABC formule,parabool,cirkel,ellips,analytische meetkunde
5. machten,wortels,exponentiële functies,logaritmes,groeisnelheid,grondtal e

inhoud deel 3
Inleiding
Het Rechthoekig Coördinatenstelsel
Lijnen evenwijdig aan de assen
De afstand van twee punten
Lijnen door de oorsprong
Loodrecht
Lijn door 2 punten
Afstand Punt tot Lijn
Afstand tussen twee Evenwijdige Lijnen
Het snijpunt van twee lijnen
Vergelijkingen, Funcies en Grafieken
Verschuiven
Spiegelen
Uitrekken
Lijnen roteren
Een Punt Roteren
doe de test
naar algebra 4
Commentaar

Inleiding
Een plaatje zegt vaak meer dan regels tekst.
Daarom in dit deel van de algebra cursus een uitstapje naar de analytische meetkunde,
waar de algebra wordt gebruikt bij berekeningen aan meetkundige figuren in coördinatenstelsels.
Deze kennis is ook van belang voor programmeurs, die zich bezighouden met grafische
toepassingen : presentatie van gegevens, technische tekeningen, grafieken, 3D effecten.

Het Rechthoekig Coördinatenstelsel
Om de plaats van een punt aan te geven in een plat vlak, trekken we in dat vlak twee
lijnen, die loodrecht op elkaar staan. Die lijnen noemen we de assen.
Het snijpunt van de assen heet de oorsprong.
De plaats van het punt kunnen we nu vastleggen door zijn (2) afstanden tot die assen.
De afspraak is als volgt:

eerst de horizontale richting
daarna
de vertikale richting
en de getallen gescheiden door een komma

Om aan te geven dat de getallen bij elkaar horen zetten we er haakjes omheen.
P(2,3) betekent:

het punt P heeft afstand 2 tot de vertikale as en afstand 3 tot de horizontale as. Zie de figuur hieronder met de punten P,Q,R en S met hun coördinaten.

De assen worden gewoonlijk X-as en Y-as genoemd. (X horizontaal, Y vertikaal).

opmerking:

- vanuit de oorsprong naar rechts of omhoog is +
- vanuit de oorsprong naar links of omlaag is -

De 2 en de 3 heten de coördinaten van P.
Opmerking
1. de coördinaten van de oorsprong zijn natuurlijk (0,0).
2. de schaal van de X-as en de Y-as hoeft niet gelijk te zijn.

Het grafieken programma Graphics-Explorer (download [hier], gratis)
is speciaal ontworpen om snel functies, vergelijkingen en grafieken te onderzoeken.
Met een (linker) muisklik wordt een punt aan het coördinatenstelsel toegevoegd.
Een tweede klik verwijdert het punt weer.
Als de muis beweegt, zie je de coördinaten van het snijpunt van de kruisdraden.

Lijnen evenwijdig aan de assen
Zie figuur.

Bekijk de groenen lijn: die loopt evenwijdig aan de x-as, zodat voor elk punt op deze lijn
geldt, dat de afstand tot de x-as gelijk is aan 3.
De lijn kan dus worden omschreven met de vergelijking ...........y = 3
Ook geldt:
blauwe lijn.....................x = -2
rode lijn.........................x = 1
paarse lijn.....................y = -2

Opmerking: het snijpuntvan de lijnen x = 1 en y = -2 is (1 , -2)

In graphics-Explorer:
Tik in bijvoorbeeld x = 3,5 en klik op "plot" of druk "enter" om de grafiek te zien.
Selecteer de kleur door op een kleurenknopje rechts onder te klikken.
probeer ook y = -3.

De afstand van twee punten
Omdat de assen (niet toevallig) loodrecht zijn gekozen, kan de stelling van Pythagoras
worden toegepast.
We zoeken een formule voor de afstand d (distance) tussen punten P(x₁ , y₁) en Q(x₂ , y₂)

Pythagoras toegepast in driehoek PRQ :

₂

₁

₂

₁

d =

_\	(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

Voorbeeld
1.
Gegeven zijn de punten A(9,4) en B(14,16)
a. de vergelijking van de lijn door A en evenwijdig aan de x-as is .........y = 4
b. de lijn door B en evenwijdig aan de y-as heeft als vergelijking ..........x = 14
c. de afstand A B =

_\	(16 − 4)² + (14 − 9)²

= 13
2.
Gegeven zijn de punten C(-5,5) en D(2,-19)
a. C D =

_\	(2 − −5)² + (−19 − 5)²

= 25

klik [hier] voor extra opgaven

Lijnen door de oorsprong

In de figuur hierboven is getekend de rode lijn OP door de oorsprong en P(5,2)
en de blauwe lijn OQ dor de oorsprong en Q(2,5).
Als we over de blauwe lijn wandelen, dan zal er een bepaald verband bestaan tussen de
x- en de y-coördinaat.
Immers, een bepaalde lijn (bv x = 2) heeft maar één snijpunt met lijn OP.
Maar welk verband is dat?
Merk op, dat driehoeken OAB en OA'B' gelijkvormig zijn.
Daarom geldt

Als nu geldt ....OA = 1 dan vereenvoudigt bovenstaande tot

= A B

AB bepaalt de richting van de lijn.
AB is de verandering in vertikale richting als x met 1 toeneemt.
De waarde AB heet richtingscoëfficiënt en ook wel hellingsgetal.
Hoe groter AB, hoe steiler de lijn omhoogloopt.
Wetende , dat de lijn door punt P(5,2) gaat is naar aanleiding van de gelijkvormigheid
van driehoeken OAB en OP'P te schrijven

Zodat de vergelijking behorende bij de lijn door O en P luidt................y = 0,4x

Zo'n vergelijking is heel handig.
Als we ons afvragen of het punt Z(260,104) op de blauwe lijn door O en P ligt, dan hoeven we
deze waarden slechts in de vergelijking in te vullen.

............104 = (?) 0,4 . 260........ja, dat klopt, dus punt Z ligt op de lijn.

Ligt punt W ( 1040,412) onder, boven of op de lijn door O en P?
Vul x in en bereken ............. y = 0,4 . 1040 = 416.
W ligt dus onder de lijn.

Gaande van O naar P bewegen we ons 5 naar rechts en 2 omhoog.
In 5 stapjes stijgen we 2 eenheden.
Dat is per stapje 2/5 = 0,4 eenheden en dat is het hellingsgetal.

Het hellingsgetal wordt vaak met letter a aangegeven.
Voor de rode lijn geldt .........a = 5/2 = 2,5.........en de vergelijking wordt dus........y = 2,5.x

Conclusie

de algemene vergelijking van een lijn door de oorsprong met hellingsgetal a is
y = a.x

Grafieken en Hellingsgetal

Op de lijn hierboven geldt voor elk punt dat

..............y = 0,5.x.
Het hellingsgetal is 0,5.
Een figuur als deze heet een grafiek.
Een grafiek is de verzameling van alle punten (x,y) waarvoor de vergelijking klopt.
We zien hier:

de grafiek van een recht evenredig verband is een rechte lijn door de oorsprong

Waarom recht?
De ongelijk gemerkte hoeken zijn samen 90^o.
Zodat LOBD = 180^o.

In grafieken zetten we de onafhankelijke variabele gewoonlijk op de X-as, dus horizontaal
en de (berekende) afhankelijke variabele op de Y-as, vertikaal.
Vaak zal op de X-as de tijd staan, die is niet veranderbaar.
Maar als we alleen eigenschappen van soorten functies of verbanden onderzoeken,
dan noemen we de onafhankelijke variabele X en de afhankelijke Y.

Uitgaande van een willekeurige rechte lijn kunnen we het hellingsgetal als volgt bepalen:

In de figuur hierboven zien we: ............a =

A B

O A

D E

B D

C E

O C

F I

O F

In de figuur hieronder staan een aantal grafieken met aangegeven het hellingsgetal.
Een lijn met a > 0 loopt (in positieve x-richting) omhoog.
Als a = 0 dan loopt de lijn horizontaal (geen toe- of afname)
Bij a < 0 is sprake van afname in de positieve x-richting,de lijn loopt omlaag.

Graphics_Explorer:
Selecteer (rechts boven):
........autoplot........vervangen (niet : toevoegen) ...... D = 0,1 (klik links of rechts voor instelling)
Tik in : y = a*x.....en klik (links/rechts) op constante A
Zo zie je meteen de grafiek van y = 0,1x......y = 0,2x......enzovoorts.

klik [hier] voor extra opgaven

Loodrecht
Bekijk de figuur hieronder:

OR = 1, PR = a, OS = a, QS = 1.
Zodat de driehoeken ORP en QSO gelijk zijn.
De gelijk gemerkte hoeken zijn even groot en ongelijk gemerkte hoeken
zijn samen 90 graden.
Zo is dus L QOP = 90^o
Er geldt .......P(1,a) en .......Q(-a,1).
Voor OP geldt ....hellingsgetal a
Voor OQ geldt.....hellinggetal -1/a
Het product van de hellingsgetallen is...........a * (-1/a) = -1
Conclusie:

als twee lijnen loodrecht op elkaar staan dan is
het product van hun hellingsgetallen gelijk aan -1

Voorbeeld
Een lijn m gaat door O en staat loodrecht op de lijn y = 4.x

De algemene vergelijking van een lijn door O is .....y = ax.
Wegens loodrecht is......a.4 = -1..........a = -0,25
De vergelijking van m is........................y = -0,25.x

Graphics-Explorer:
Tik in ..........y = ax
en ook.........y = -1/a*x...........(gebruik andere kleur)
selecteer ...autoplot....vervangen.......D = 0,1
Klik op A om loodrechte lijnen te laten draaien.

klik [hier] voor extra opgaven

Lijn door 2 punten
Gegeven zijn de punten P(x₁,y₁) en Q(x₂,y₂)
Gevraagd: de vergelijking van de lijn door P en Q.
Merk op: een rechte ligt vast als er twee punten van bekend zijn.
Zo'n lijn is dus te "onthouden" door die twee punten te bewaren.

Neem een willekeurig punt (R) op de lijn. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken PSQ en PTR volgt :

y − y₁

x − x₁

y₂ − y₁

x₂ − x₁

Anders bekeken:
We kijken vanuit punt P naar punt Q. Als R in het verlengde ligt dan ligt R dus op de lijn.
Dat zal het geval zijn als het hellingsgetal van de lijn PQ gelijk is aan het hellingsgetal van de lijn PR.

Merk op , dat het hellingsgetal a =

y₂ − y₁

x₂ − x₁

.................(vertikale../ horizontale verandering)
zodat de vergelijking geschreven kan worden als

y - y₁ = a(x - x₁)

Deze vergelijking is vooral handig als de richting en één punt bekend zijn.
a en (x₁,y₁) kunnen direct worden ingevuld.

Voorbeeld
Gegeven is het punt P(-3,-5).
Gevraagd: de vergelijking van de lijn door P met richtingscoëfficiënt 0,5.
Invullen :
........... y - -5 = 0,5(x - - 3)
............y + 5 = 0,5(x + 3)
..................y = 0,5x + 1,5 - 5
..................y = 0,5x - 3,5

Gegeven zijn de punten A(10,5) en B(20,17).
Gevraagd :
a. de vergelijking van de lijn door A en B
b. het snijpunt met de x-as
c. het snijpunt met de y-as

a.
hellingsgetal a =

17 − 5

20 − 10

= 1 , 2
invullen:
.............y - 5 = 1,2(x - 10).....................{.na invullen (x₁, y₁) = (10,5)}
.............y = 1,2x - 7............................1)
b.
Op de x-as geldt ........y = 0, invullen in ....1)
0 = 1,2x - 7...............1,2x = 7...................x = 5,83
c.
Op de y-as geldt.........x = 0, invullen in .......1)
y = 1,2.0 - 7 = -7

De algemene formule voor een lijn door twee punten wordt eenvoudiger, als een van de punten
het snijpunt is met de y-as.
In dat geval noemen we y₁ meestal b....................(merk op dat x₁ = 0)
De formule gaat dan over in:

Merk op, dat voor x = 0 geldt............y = b, daarom wordt b wel de beginwaarde genoemd.

De formule y = ax + b kunnen we lezen als:
.............voor x = 0 geldt y = b
.............voor elke toename met 1 van x komt er a bij de waarde van y

Merk op :

de formule van elke (rechte) lijn kan worden geschreven in de vorm y = ax + b

Conclusie: een lijn bepalen komt neer op het berekenen van de constanten a en b.

y = ax + b is de algemene vergelijking van een lineair verband
Lineair, omdat de grafiek een rechte lijn is.
Merk op: lineaire verbanden zijn het gevolg van (absolute) constante groei.
Voor elke stap (1) in horizontale richting neemt de waarde met a toe.

Geschreven in de functienotatie :
...........f(x) is een lineaire functie als geldt ......f(x) = ax + b

Voorbeeld
Gegeven zijn de punten V(5,8) en W(7,-2)
a. bepaal de coördinaten van M, midden op lijnstuk VW
b. bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van VW

a.
In de x richting van V naar W is het midden M_x = (5+7)/2 = 6
In de y richting van V naar W is het midden M_y = (8 - 2)/2 = 3
(M is de gemiddelde waarde van V en W, in X- en Y-richting)
Coördinaten M(6,3)
b.
Hellingsgetal VW =

−2 − 8

7 − 5

= −5
Merk op: hellingsgetal is negatief, dus y neemt af bij toename van x, de lijn loopt omlaag.
Voor het hellingsgetal a van de middelloodlijn geldt
............a(-5) = -1
.................a = 0,2
De lijn wordt dus
...........y - y₁ = 0,2(x - x₁).
De lijn gaat door M(6,3) dus invullen maar:
............y - 3 = 0,2(x - 6)
.................y = 0,2x + 2,8

Graphics-Explorer:
Klik twee punten in het coördinatenstelsel.
Kies een kleur.
Selecteer in menu: punten : maak : rechte, de lijn wordt getekend
en de vergelijking verschijnt in het invoervenster.
(menu : punten : wissen verwijdert alle punten)

Selecteer ....autoplot......vervangen...........D=0,1
Tik in.........y = a*x + b
Klik op A en B constanten om het effect te zien van hellingsgetal en beginwaarde.

klik [hier] voor extra opgaven

Afstand Punt tot Lijn
gegeven is de lijn l........y = ax + b..............en het punt .......P(x₁,y₁)
Gevraagd: een formule voor de afstand van P tot l.

De afstand van P tot l is de loodlijn van P op l.
We trekken een vertikale lijn vanuit P, die l snijdt in Q.
P en Q hebben dus dezelfde x-coördinaat, de y-coördinaat van Q vinden we door
die x waarde in te vullen in de vergelijking van de lijn:.......y = ax + b.

De afstand PQ = ax₁+b - y₁.
De gevraagde afstand is PR en wegens gelijkvormigheid
..................QR = a.PR
zodat.........PR² + (a.PR)² = PQ²
.................PR²(1+a²) = PQ²
.................PR =

P Q

1 + a²

Voorbeeld
Bepaal de afstand van het punt A(-2,7) tot de lijn y = -3x + 10

Trek de vertikale lijn door A, dus de lijn x = -2, zodat y = -3(-2) + 10 = 16 voor het snijpunt met de lijn.
De vertikale afstand (gemeten in de richting van de y-as) van A tot de lijn is
............16 - 7 = 9.
De afstand d tot de lijn is dan: ............d =

1 + (−3)²

= 0,9.

klik [hier] voor extra opgaven

Afstand tussen Evenwijdige Lijnen

Met nog in gedachten de afstand van een punt tot een lijn, zien we in de figuur hierboven:
...........d² + (ad)² = (b₁ - b₂)²
zodat
...........

b₁ − b₂

1 + a²

Merk op: de lijnen lopen evenwijdig, dus hebben hetzelfde hellingsgetal (a)

klik [hier] voor extra opgaven

Het Snijpunt van twee Lijnen
Stel de vergelijkingen van die lijnen:
...............y = a₁x + b₁
...............y = a₂x + b₂

Verschil nemen:
..............x(a₁- a₂) = b₂ - b₁
..............x =

b₂ − b₁

a₁ − a₂

Het is niet zinvol dit te onthouden of in een naslagwerk op te nemen.
Handiger is de methode op concrete lijnen toe te passen.

Voorbeeld
Bepaal het snijpunt S van de lijnen:
........y = -3x + 10..................1)
........y = 0,5x - 12.................2)

......-3x + 10 = 0,5x - 12
...........-3,5x = -22
..................x = 6,29..................invullen in .............1)
..................y = -3(6,29) + 10 = -8,86

Dus snijpunt S(6,29 ; -8,86)
{ puntkomma tussen de getallen om niet in de war te raken met de decimale komma}

Opmerking : invullen in .........2) had natuurlijk hetzelfde antwoord voor y opgeleverd.

Graphics-Explorer:
Tik in y = 0,8x + 1.....kies ander kleur en tik in.........y = 0,6x + 3
Beweeg de muispointer over het snijpunt om de coördinaten af te lezen.
Door op de > of < toetsen aan de rand te klikken kan je het coördinatenstelsel verplaatsen.
Schuif het snijpunt in het midden.
Door op de rechtermuisknop te klikken stel je het zoom-middelpunt van het scherm in.
De schaal is uit te rekken (in te krimpen) door te klikken op <> of >< knoppen
aan de rand van het scherm.
Zoom in op het snijpunt, om de coördinaten steeds nauwkeuriger af te lezen.

klik [hier] voor extra opgaven

Vergelijkingen, Functies en Grafieken.
Een vergelijking heeft de vorm:

...........formule 1 = formule 2

Als we niet weten waar het over gaat (we dus geen winsten, oppervlakten, tijden, snelheden o.i.d. berekenen)
dan gebruiken we de variabelen x en y .
De grafiek van die vergelijking bestaat uit alle punten (x,y) waarvoor de vergelijking klopt.

Een functie is een speciale vorm van een vergelijking, namelijk
...........variable = formule
waarbij één variabele alleen links van het = teken voorkomt.
Deze vorm is het handigst, kijk maar naar bijvoorbeeld
.............y = 2x - 3
Door een waarde van x in te vullen wordt y direct berekend.

We kunnen ook schrijven
............f(x) = 2x - 3 , dat komt op hetzelfde neer.

De grafiek van de functie f(x) is de grafiek van de vergelijking y = f(x).

In plaats van y = 2x - 3 kunnen we ook schrijven
.................y - 2x = 3

Voorbeeld
Schrijf de vergelijking 3x - 8y = 10 als functie van x

................-8y = -3x + 10
.................8y = 3x - 10
...................y = 0,375x - 1,25
of............f(x) = 0,375x - 1,25

klik [hier] voor extra opgaven

Verschuiven
Stel eens, dat we een willekeurige vergelijking hebben met twee variabelen, x en y.

............x............y....... = ..........x...........y..........

De puntjes staan voor +, - *,/ tekens, haakjes en voor allerlei constanten.
En laten we aannemen, dat het punt (10,7) op de grafiek ligt.
dat betekent, dat het ...=... teken klopt voor:

............10............7....... = ..........10...........7..........

Nu vervangen we in de vergelijking systematisch (x) door (x-1), zodat:

............(x-1)..........(y) ........... = .............(x-1).............(y)

Die vergelijking klopt niet meer voor (10,7) , de grafiek is veranderd. Hoe?
De vergelijking zal nu kloppen voor (x-1) = 10 en y = 7, zodat
...........x = 11........het punt (11,7) ligt nu op de grafiek.

Conclusie: door (x) te vervangen door (x-1) is de grafiek 1 plaats naar rechts verschoven.
Anders gezegd: de y-as is 1 plaats naar links geschoven.

Net zo redenerend voor y komen we tot de conclusie:

als in een vergelijking (x) door (x-h) en (y) door (y-v) wordt vervangen,
dan verschuift de grafiek h naar rechts en v omhoog.

als in een vergelijking (x) door (x+h) en (y) door (y+v) wordt vervangen,
dan verschuift de grafiek h naar links en v omlaag

Maar hiervoor deden we al niet anders.
Neem de lijn .....y = 0,4x.
Die loopt door O(0,0) met hellingsgetal 0,4.
Als we een lijn zoeken met hellingsgetal 0,4 die gaat door het punt p(10,7),
dan hoeven we alleen maar het punt (0,0) naar (10,7) te verschuiven.
x dus vervangen door (x-10) en y door (y-7).
Daar gaan we: .....................(y - 7) = 0,4(x-10)
.............................y = 0,4x - 4 + 7
.............................y = 0,4x + 3...........is de gewenste lijn

Hieronder wordt een verschuiving in beeld gebracht.
g(x) is de verschuiving van f(x) met 2,5 naar rechts.
g(x) = f(x-2,5).

Graphics-Explorer:
Tik in .....y = 0,5(x - a)
(...vervangen....autoplot....)
Klik op A om de (horizontale) verschuiving te zien.

klik [hier] voor extra opgaven

Spiegelen
We nemen weer als uitgangspunt
..............x.............y...........= ..........x..............y.....
als we een punt spiegelen om de x-as, dan draait het teken van de y-coördinaat om.
Dus P(10,7) wordt gespiegeld om de x-as P'(10,-7).

Vervang in de vergelijking (y) door (-y)
............x............(-y).........= ..............x............(-y)

wat zal kloppen voor x = 10 en (-y) = 7.......dus y = -7

Voor x kunnen we eenzelfde redenering houden, zodat de conclusie is

als in een vergelijking (x) door (-x) wordt vervangen
dan spiegelt de grafiek om de y-as.

als in een vergelijking (y) door (-y) wordt vervangen
dan spiegelt de grafiek om de x-as.

Wordt zowel (x) door (-x) en (y) door (-y) vervangen, dan spiegelt de grafiek in het punt (0,0), de oorsprong.

Bovenstaande regeltjes zijn nu te combineren, waarmee ingewikkelde problemen simpel
aangepakt kunnen worden.
Hieronder zijn enkele spiegelingen in beeld gebracht:

Uitgaande van de zwarte lijn : f(x) = 0,5x + 2 is:
de rode lijn de spiegeling om de x-as, dus f(x) wordt g(x) = -f(x)
de blauwe lijn de spiegeling om de y-as, dus f(x) wordt h(x) = f(-x)
de paarse lijn de spiegeling om (0,0), dus k(x) = -f(-x)

Merk op: spiegeling om (0,0) is te bereiken door achtereenvolgens te spiegelen
om de x-as en de y-as.

Voorbeeld
spiegel y = 2x + 5 in het punt (2,3)

Alleen spiegelen om (0,0) is mogelijk, dus schuiven we (2,3) met de grafiek, naar (0,0).
Dus 2 naar links en 3 omlaag.
............y = 2x + 5......wordt dan
........y+3 = 2(x+2) + 5
............y = 2x + 6...............nu tekens van x en y omdraaien
.........(-y) = 2(-x) + 6
.............y = 2x - 6.....................nu weer terugschuiven, 2 rechts, 3 omhoog
.....(y - 3) = 2(x - 2) - 6
.............y = 2x - 7............is het antwoord, zie figuur hieronder

De richting van een lijn verandert niet bij spiegeling in een punt.

klik [hier] voor extra opgaven

Uitrekken
Opnieuw uitgaande van
..........x..........y.........= ....x.............y.....en aannemende, dat P(10,7) op de grafiek ligt
vervangen we x door

........(

) ..........y.......= ........(

) .......y.........
De vergelijking zal nu kloppen als
............

= 10
.............x = 30.......oftewel:
punt P(10,7) wordt nu (30,7).
Ten opzichte van de y-as is de waarde van x drie keer zo groot geworden,
de grafiek is in de x-richting een factor 3 uitgerekt.

Hierboven wordt f(x) = x + 2 een factor 3 uitgerekt in de x richting.
x is vervangen door x/3.

Conclusie

als in een vergelijking x wordt vervangen door x/p,
dan rekt de grafiek een factor p uit t.o.v. de y-as , in de horizontale richting.

als y wordt vervangen door y/q dan
rekt de grafiek een factor q uit t.o.v. de x-as , in de vertikale richting.

merk op: punten op een spiegel-as blijven bij spiegeling natuurlijk op hun plaats.

Voorbeeld
Spiegel de grafiek van y = 0,5x + 2 om de lijn x = 6.

x=6 loopt evenwijdig met de y-as.
Schuif eerst de grafiek 6 naar links........y = 0,5(x+6) + 2
................................................................y = 0,5x + 5
spiegel om de y-as.................................y = -0,5x + 5
schuif 6 naar rechts...............................y = -0,5(x - 6) + 5
...............................................................y = -0,5x + 8..........is het antwoord.

Algemene opmerking
Hiervoor ontdekten we regeltjes om grafieken te verschuiven, te spiegelen
of uit te rekken.
Daarbij werkten we met rechte lijnen.
Maar nergens hebben we bij onze redenaties gebruik gemaakt van dit feit.
Oftewel: deze regels gelden niet alleen voor rechte lijnen, maar voor ALLE grafieken.
Is dat even makkelijk!

Graphics-Explorer:
Tik in......... y = x/a - 5 en (andere kleur) ....y = x/a.
(vervangen..........autoplot..........)
Klik op A om de grafiek in de x-richting uit te rekken

klik [hier] voor extra opgaven

Lijnen Roteren

Bekijk de figuur hierboven.
De lijn OB heeft als hellingsgetal a₁.
We verdraaien deze lijn met O als middelpunt en bij de draaihoek hoort hellingsgetal a₂.
En voor het gemak kiezen we OA = 1.
Omdat LBCD = LBOA (reken maar na), is driehoek OAB gelijkvormig met driehoek CDB.
Zodat geldt:.........(omdat OA=1)
................

O B

O A

B C

D C

........zodat.......D C =

B C

O B

............dus .......D C =

a₂ (O B)

O B

= a₂

en omdat...........DB = a₁.DC
..........................DB = a₁.a₂
Uit de figuur is nu af te lezen:
hellingsgetal van de verdraaide lijn ..........a =

a₁ + a₂

1 − a₁ a₂

Als het voorgaande niet direct duidelijk is, bedenk dan, dat de verhoudingen van de zijden van een
rechthoekige driehoek vaststaan als het hellingsgetal bekend is.
Teken maar zo'n driehoek met basis 1, de andere rechthoekszijde is dan a, dus a keer zo groot.
De tegenoverliggende rechthoekszijde is altijd a keer zo groot als de aanliggende.

Bij het roteren gaan we gewoonlijk uit van de hoek en niet van het bijbehorende hellingsgetal.
Geen nood. In de goniometrie heet hellingsgetal "tangens" en daarvoor heeft de
rekenmachine een handig knopje: "tan". De functie "tan" berekent het hellinggetal dat bij een hoek hoort.
Wil je bijvoorbeeld roteren over 30^o dan tik je in tan30=0,577...dat is dan
het hellingsgetal a. (De theorie hiervan bevindt zich nog achter de horizon)

Pas op:................we kunnen (tot nu toe) alleen lijnen roteren, die door de oorsprong gaan.

Voorbeeld
Roteer de lijn y = 2x linksom over 60^o

Van de geroteerde lijn is a =

a₁ + a₂

1 − a₁ a₂

...........a₁ = 2..............a₂ = tan 60^o = 1,732
...........a =

2 + 1.732

1 − 2 · 1.732

= −1.515
De geroteerde lijn heeft als vergelijking...........y = -1,515.x

klik [hier] voor extra opgaven

Een Punt Roteren
We roteren een punt P(x,y) over een bepaalde hoek, met middelpunt O(0,0).
Bij de draaiingshoek hoort hellingsgetal a.

Dit probleem is lastig en daarom kiezen we een stap-voor-stap aanpak.
Bedenk, dat P(x,y) is op te vatten als de optelling van (x,0) en (0,y).
We gaan nu de punten (x,0) en (0,y) afzonderlijk verdraaien en later tellen we de
effecten van die verdraaiingen op.

Ik geef toe: er is niet bewezen dat deze werkwijze correct is.
Dat bewijs wordt wel geleverd door de Lineaire Algebra, waar wordt
uitgelegd wat vectorruimtes zijn.
Maar zolang (0,0) het rotatiemiddelpunt is, maken we geen fouten.
Ik vraag dus wat vertrouwen.

Eerst (x,0) roteren:

Bekijk eerst even het zwarte driehoekje rechts in de figuur.
Dat is gelijkvormig met de blauwe driehoek links.
Stel .......

1 + a²

......en we zien dat
......x' = sx ..............y'=asx
te lezen als.....x wordt vermenigvuldigd met s (was x, wordt sx).....y wordt verhoogd met asx (was 0 , wordt asx)

Nu P(0,y)

We zien in de figuur dat
........x' = -asy
........y' = sy

In woorden: .....x is verminderd met asy (was 0, wordt -asy)......y is vermenigvuldigd met s (was y, wordt sy)

Beide effecten opgeteld:
............x' = sx - asy = s(x - ay)
............y' = sy + asx = s(y + ax)

Merk op: rotatie moet linksom zijn, tegen de wijzers van de klok in.
Een rotatie -a betekent rechtsom, met de wijzers van de klok mee.

Bij rotatie over een hoek van 90^o doet zich een probleem voor, want dan is s = 0.
De formule klopt niet meer.
We herschrijven de formule:
......x' = s(x - ay) = sx - say = -say..............(s=0 en a is oneidig groot)
Nu is .......sa =

1 + a²

...... en voor steeds grotere a komt de waarde steeds dichter bij 1, zodat hier sa = 1.
bij rotatie over 90^o geldt dus:
........x'= -y
........y'= x

klik [hier] voor extra opgaven

En hiermee zijn we aan het einde gekomen van deel 3.
In deel 4 zal het gaan over kwadratische vergelijkingen, cirkels,
ellipsen en parabolen.

Test
5 punten per goed antwoord. De score is het percentage.

1.
Wat is het snijpunt van de lijnen x = -5 en y = 8?
2.
Bereken de afstand van de punten A(10,15) en B(12,19)
(laat wortels in het antwoord staan, maar vereenvoudig ze wel)
3.
Bereken de afstand tussen de punten C(1,-4) en D(-9,6)
4.
Punt M ligt op het midden van lijnstuk E(-3,7) ....F(5,9).
Bereken de coördinaten van M.
5.
Een lijn gaat door de punten (0,0) en P(10,15).
Bepaal de vergelijking.
6.
Een lijn gaat door de oorsprong en staat loodrecht op de lijn y = -0,2x.
welke vergelijking?
7.
Ligt punt Q(1247,770) op, onder of boven de lijn y = 0,62x + 4,73?
8.
Bereken de afstand van P(10,4) tot de lijn y = 3x + 14
9.
Bereken de afstand van de lijnen y = 5x - 6 en y = 5x + 20
10.
Bepaal het snijpunt van de lijnen y = 1,5x + 4 en y = -3x + 5
11.
Een lijn gaat door de punten P(-3,7) en Q(3,-1)
Welke vergelijking heeft de lijn?
12.
Punt P ligt op de lijn x = 5 en heeft afstand 6 tot de lijn y = 2x - 8
Bepaal de coördinaten van P
13.
Schuif de grafiek van y = 4x - 7 ....... 3 naar rechts en daarna 5 omlaag.
Wat is de nieuwe vergelijking?
14.
Spiegel de grafiek van y = -2x + 11 om de x-as.
Wat is de vergelijking nu?
15.
Rek de grafiek van y = 7x - 14 een factor 5 uit in t.o.v. de y-as.
Wat is nu de vergelijking?
16.
Gegeven zijn de punten A(0,0)....B(0,7).....en C(5,0)
Een cirkel met middelpunt M gaat door A,B en C.
Bepaal de coördinaten van M
17.
Het punt P' (spreek uit P accent) is de rotatie van P(10,12) om (0,0)
over een hoek van 45^o linksom.
Bereken de coördinaten van P'
18.
De lijn y = ax maakt een bepaalde hoek met de x-as.
Bereken het hellingsgetal a' van de deellijn van die hoek.
19.
De lijn y = 2x -10 wordt een factor 5 uitgerekt t.o.v. de lijn x = -5.
Welke vergelijking heeft de nieuwe lijn?
20.
De lijn y = 0,5x + 1 wordt 26,56505118^o linksom geroteerd met (0,0) als middelpunt.
Wat wordt de nieuwe vergelijking?

De antwoorden vind je [hier]

Commentaar

Klik [hier] voor een e-mail bericht met uw

OneStat