Cursus Algebra (5)

inhoudsopgave

1. negatieve getallen, termen, factoren, rekenregels,vergelijkingen

2. afronden,functies,verhoudingen,wortels,ontbinden in factoren,zwaartelijn formule

3. coördinatenstelsel,lijnen,spiegelen,verschuiven,roteren

4. kwadratische functies,ABC formule,parabool,cirkel,ellips,analytische meetkunde

inhoud deel 5

Machten

Macht 0

Negatieve machten

Wortels

Breuken als macht

Exponentiële functies

Logaritmes

Vergelijkingen met logaritmes

De groeisnelheid van exponentiële functies

Het grondtal e

doe de test

Commentaar

Machten
a² = a a
a³ = a.a.a
a⁴ = a.a.a.a
enzovoorts.
In a^p heet a het grondtal en p de exponent.
a^p spreek uit: a tot de macht p.

De exponent geeft aan hoeveel factoren van het grondtal er zijn.

a² heet ook wel: a kwadraat.

formules met machten

a^p.a^q = a^p+q
(a^p)^q = a^pq
(ab)^p = a^p.b^p

Vermenigvuldigen: bij gelijke grondtallen de exponenten optellen.
Machten tot de macht: exponenten vermenigvuldigen.
Factoren tot de macht: elke factor tot de macht verheffen.

De macht 0

a^p.a⁰ = a^p+0 = a^p
conlusie:

a⁰ = 1

Dat is niet onlogisch want bij vermenigvuldigingen kunnen we altijd *1 toevoegen.
a⁵ betekent 5 factoren a dus aaaaa * 1
a⁰ is 0 factoren a maar dan blijft de "1" over.

Negatieve Machten
a^p.a^-p = a^p-p = a⁰ = 1
conclusie

a^-p =

1

a p


en dus ook


1

a −p

= a^p

Het teken van een exponent verwisselt als de macht tussen teller en noemer wisselt.

Wortels
Een wortel is het omgekeerde van een macht.
De bewerkingen machtverheffen en wortetrekken heffen elkaar op.



Opmerking:

2 \

3

 = 

\

3

De "2" bij een tweedemachtswortel laten we weg.
Tweedemachtswortel heet ook wel "vierkantswortel" of gewoon "wortel".

formules met wortels

De bewijzen laat ik aan de lezer over.
aanwijzing: voer links en rechts van het = teken gelijke maar tegengestelde bewerkingen uit.

Even wortels (2,4,6...) kunnen we alleen trekken uit positieve getallen.
Die wortels kunnen dus ook nooit kleiner dan 0 zijn.
De vierkantswortel uit -1 bestaat niet want geen enkel getal is in het kwadraat gelijk aan -1.

Voorbeeld:
gevraagd wordt x op te lossen in de vergelijking:
2 x = 

\

x 2 + 27

links en rechts kwadrateren levert
4x² = x² + 27
3x² = 27
x² = 9
x = 3 ...of....x = -3

maar x = -3 levert 2x = -6 en de wortel wordt negatief.
Dat kan niet, zodat deze uitkomst vervalt.

Zie ook algebra deel 2 voor het rekenen met wortels.

Breuken als exponent
Volgens voorgaande rekenregel: a^p.a^q = a^p+q moet gelden



conclusie:



algemener:



Bewijs:
verhef formules links en rechts van het = teken tot de macht n.
Dan staat er gewoon: a^m = a^m

Met deze regels wordt het rekenen met wortels een stuk eenvoudiger.
Bewijs bijvoorbeeld bovenstaande wortelformules.

Voorbeeld:


Exponentiële functies
De waterhyacint is een beruchte plant omdat hij hele meren kan verstikken.
Stel eens dat we 1 kg. in een meer uitzetten en dat deze plant zijn massa elk jaar verdubbelt.
Na t jaren is de totale massa M dan

M = 2^t

In deze formule is 2 het grondtal en de onafhankelijke variabele t is de exponent.
Deze vorm heet exponentiële functie.
De komende jaren zien we de massa waterhyacinten dan toenemen van 1 naar 2, 4, 8, 16, 32kg.......

2 heet ook wel de groeifactor, elke tijdsperiode wordt de massa hiermee vermenigvuldigd.

Uiteraard is exponentiële groei alleen beperkte tijd mogelijk.

Het interessante is, dat we voor t ook negatieve waarden kunnen invullen:
Voor t = -1 wordt M = 1/2kg. Voor t = -2 wordt M = 1/4kg.
Het had ook gekund dat we een jaar eerder 1/2 kg waterhyacinten hadden uitgezet.
Of twee jaar eerder 1/4kg.
Ook breuken als tijd hebben betekenis:
Na 0,5 jaar geldt M = 2^0,5 = 1,41kg....{gebruik rekenmachine [x^y] knopje}

Verandering van tijdschaal
In het voorgaande telden we in jaren.
Stel dat we een formule voor de plantengroei wensen waarin de tijd in maanden wordt gerekend.
Nu is de jaarlijkse groeifactor 2, maar dat worden nu 12 maanden.
Noemen we de nieuwe groeifactor g dan is dus g¹² = 2, zodat...(twaalfdemachts wortel nemen)
g = 2^1/12 = 1,059
De nieuwe fuctie waarin t in maanden wordt geteld luidt dus

M = 1,059^t

Verandering van startpunt
Stel dat we op een moment 10000kg waterplanten aantreffen.
De jaarlijks groeifactor is bekend en gelijk aan 2.
Nu wensen we een formule voor de plantenmassa waarin vanaf 10 jaren geleden wordt gerekend.
10 jaar geleden waren er M = 10000.2^-10 = 9,7656kg. planten.
De nieuwe formule wordt dan

M = 9,7656.2^t

Algemeen

y = ag^x

is de algemene exponentiële functie.
De beginwaarde (voor x = 0) is a en voor elke toename van x met 1 wordt de waarde vermenigvuldigd met g, de groeifactor.
Opmerking: er moet gelden g > 0

Als g > 1 dan zal de waarde steeds toenemen.
Voor 0 < g < 1 zal de waarde steeds afnemen.

Voorbeeld:
Bij een kopje afkoelende thee daalt de temperatuur volgens een exponentieel verband.
Daarbij rekenen we met het temperatuursverschil met de omgeving.
(Waarom dit zo is valt buiten dit hoofdstuk, daar is kennis van de differentiaalrekening voor nodig).
De kamertemperatuur is 20C.
De thee wordt op t=0 ingeschonken met een temperatuur van 80C.
Na 10 minuten is de thee 60 graden.
We zoeken de functie die de afkoeling beschrijft.

De beginwaarde is simpel: 80 - 20 = 60 graden boven kamertemperatuur.
Dat levert alvast op C = 60g^t
En na 10 minuten geldt dan
60-20 = 60.g¹⁰
g¹⁰ = 2/3
g = (2/3)^1/10 = 0,96

zodat

C = 60.0,96^t

waarin:
C : graden Celsius
t : tijd in minuten

Voorbeeld:
In een meer met waterhyacinten meten we een massa van 150000kg.
Twee jaar later is dat 460000kg.
Welke groeifactor hoort daar bij, in jaren gerekend?
De toename is met een factor 460000/150000 = 3,0666 per 2 jaar.
Per jaar is dat dus 3,0666^0,5 = 1,75 (beetje afgerond).

Voorbeeld:
Jansen heeft zijn geld 10 jaar geleden op een spaarrekening gezet met 2% rente.
Zijn tegoed is in die tijd aangegroeid tot €146279,33
Welk bedrag heeft hij ingelegd?
K = K₀.1,02^t ...(K: kapitaal, K₀: startkapitaal, t: jaren.

146279,33 = K₀1,02¹⁰ = K₀. 6,191736
zodat
K₀ = 120000 €

Stel eens dat een plant zich jaarlijks vermeerdert volgens de formule {M: massa in kg, t: jaren}

M = 25.1,07^t

We vragen ons af na hoeveel jaren de plantenmassa 1000kg. bedraagt.
Daarvoor dienen we t op te lossen uit de vergelijking

25.1,07^t = 1000
1,07^t = 40

Dat lukt niet met onze huidige kennis, maar bekijk eens het volgende.

Logaritmes
Hiervoor zagen we dat worteltrekken en machtverheffen elkaars tegengestelden zijn.
Als we een getal tot de macht 5 verheffen en meteen daarna de vijfdemachts wortel trekken,
dan krijgen we het oorspronkelijke getal weer terug.
Nu nemen we een bepaald grondtal g, een variabele x die we
in de exponent tillen van het grondtal.
Daarmee ontstaat de exponentiële functie g^x.
De logaritme is hier het tegengestelde van:
Nemen we de logaritme van g^x dan levert dat weer de x op.



Dit is in het begin lastig.
Maar onthoudt het zo:

We tillen x bovenop grondtal g zodat x de exponent wordt.
Met de logaritme trekken we het grondtal weer onder de x uit.

Standaard nemen we voor het grondtal 10 dus log(a) = ¹⁰log(a).
Dus:

log(1) = log(10⁰) = 0
log(10) = 1
log(100) = log(10²) = 2
log(1000) = log(10³) = 3...enzovoort..

log(0,01) = log(10^-2) = -2

Definitie



a wordt geschreven als een macht met grondtal g waarna de g er onderuit wordt getrokken.

Opmerking: in de definitie hierboven is g > 0 en g is ongelijk aan 1.

De rekenmachine heeft een knopje [LOG] waarmee logaritmes voor het grondtal 10 zijn te berekenen.
Hoe dat werkt wordt hier niet behandeld.
Zo zien we dat:

log(5) = 0,698970004 ...wat betekent:
10^0,698970004 = 5

waarmee duidelijk wordt waarom de gebroken exponenten hiervoor werden behandeld.

Rekenregels voor logaritmes
1.



bewijs:
stel g^x = a en g^y = b.
Dan is ab = g^x+y

2.



bewijs:
Stel ^glog(a) = x zodat g^x = a
zodat aⁿ = g^nx
beide zijden de log( ) nemen
nx = ^glog(aⁿ)
n.^glog(a) = ^glog(aⁿ)

3.



bewijs:



hier zien we een manier om van grondtal te wisselen.

4.
Uit regel 3 volgt vrijwel direct:



bewijs:



5.



bewijs:



Voorbeelden.
1.
log(6) = log(3) + log(2)........{ga na met rekenmachine}

2.
log(2000) = log(2*10³⁾ = log(2) + log(10³⁾ = log(2) + 3

3.
²log(64) = ²log(2⁶) = 6.
maar ook: (grondtal 10, rekenmachine)
²log(64) = log(64) / log(2) = 1,806../0,301.. = 6

4.
los x op uit 3^x = 100.
Neem log( ) om x uit de exponent te werken:
log(3^x) = log(100) = 2.
x.log(3) = 2
x = 2 / log(3) = 2 / 0,477.. = 4,1918.

5.
^g-1log(a) = ^glog(a) / ^glog(g^-1) = -^glog(a)

Vergelijkingen met logaritmes
1.
log(x⁵) = 10
methode a:

5.log(x) = 10
log(x) = 2
10^log(x) = 10²
x = 100

methode b:
log(x⁵) = log(10¹⁰)
x⁵ = 10¹⁰
x = 10² = 100

2.
²log(x-3) = ²log(7) + 1
²log(x-3) = ²log(7) + ²log(2)
²log(x-3) = ²log(14)
x-3 = 14
x=17

3.
²log(x) + ⁴log(2x) = 5
²log(x) + ²log(2x) / ²log(4) = 5
²log(x) + ²log(2x) / 2 = 5
2.²log(x) + ²log(2x) = 10
2.²log(x) + ²log(x) + 1 = 10
3.²log(x) = 9
²log(x) = 3 = ²log(8)
x = 8

4.



De groeisnelheid van exponentiële functies
Hieronder staat de grafiek van de functie y = 2^x



In een willekeurig punt P is de raaklijn getekend.
Als x toeneemt stijgt de functie steeds sneller, de richtingscoëfficient van de functie neemt toe.
Die richtingscoëfficient noemen we de groeisnelheid.
Die groeisnelheid is : (2^x+h - 2^x)/h = 2^x(2^h-1)/h
Opmerking:
De functiewaarde 2^x+h is kleiner getekend dan de echte functiewaarde.
Als h heel klein wordt, dan wordt deze fout echter verwaarloosbaar klein,
omdat op zeer kleine intervallen de functie als een stukje rechte lijn is op te vatten.

Nu zien we hier iets opmerkelijks, namelijk:

de groeisnelheid is steeds gelijk aan de functiewaarde vermenigvuldigd met de factor (2^h-1)/h

Opmerking: (2^h-1)/h is onafhankelijk van x.
We noemen (2^h-1)/h de relatieve groeisnelheid.

Nemen we een zeer kleine waarde voor h, bijvoorbeeld 0,001 dan is (2^h-1)/h = 0,693

Voor de functie y=3^x vinden we op dezelfde manier een relatieve groeisnelheid: (3^h-1)/h = 1,099

Ergens tussen de grondtallen 2 en 3 bevindt zich dus een zeer merkwaardig getal
waarvoor de relatieve groeisnelheid gelijk is aan 1.
Dat getal heet e.
Zodat moet gelden : (e^h - 1) / h = 1 voor zeer kleine waarden van h.
De functie y = e^x heeft een relatieve groeisnelheid van 1.
De groeisnelheid is steeds precies gelijk aan de functiewaarde.

Maar hoe bepalen we dat getal e?

Het grondtal e
Van exponentiële functies weten we dat de waarde in een vast interval (van x of de tijd) steeds
met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.
Uitgaande van y=e^x geldt op x=0 dat y=1 en de groeisnelheid is op dat moment 1.
Zou die groeisnelheid gelijk blijven dan is op x=1 y met 1 gestegen zodat y = 1+1 = 2.

Dat is veel te weinig, want als y groter wordt neemt ook de groeisnelheid toe.
Laten we het traject van x=0..1 eens opknippen in twee gelijke delen van 0,5.
Het eerste tijdvak is de groei dan 1*0,5 de functiewaarde neemt toe van 1 naar 1,5 wat ook de groeifactor is.
Het tweede interval wordt wederom met 1,5 vermenigvuldigd zodat de functiewaarde wordt (1,5)² = 2,25.
Dat is nog steeds te laag.
We knippen de x (of de tijd t) in 10 gelijke delen:
De groei in interval 1 is 0,1 de functie stijgt van 1 naar 1,1 ..,dus in 10 intervallen wordt de functiewaarde (1,1)¹⁰=2,5937
Knippen we het interval 0..1 in n stukjes dan geldt: (1 + 1/n)ⁿ.
Hoe groter n, hoe dichter we het getal e benaderen.
Het blijkt, dat e = 2,718281828....

De rekenmachine heeft 2 knopjes voor machten en logaritmes met het grondtal e:

[e^x] berekent de e macht voor x
[ln] berekent de logaritme voor grondtal e van een getal.

ln heet de natuurlijke logaritme.
ln(x) = ^elog(x)

In technische literatuur worden machten vaak met grondtal e geschreven omdat dit de simpelste formules oplevert.
Ook is de berekening van machten of logaritmes met grondtal e het eenvoudigst.

Laten we volgende functies eens vergelijken:

y = g^t
y = e^pt

waaruit we zien dat g = e^p
Wat stelt die p voor?

Terug naar de berekening van e.
Stel eens, dat de relatieve groeisnelheid van een exponentiële functie gelijk is aan p.
Knippen we het interval 0..1 in n gelijke delen dan wordt de functiewaarde op x=1 :



Een relatieve groeisnelheid van p levert een groeifactor op van e^p

Met differentiaalrekening is af te leiden dat



opmerking:
3! = 3.2.1
4! = 4.3.2.1
! spreek uit: faculteit.

en ook:



maar dat valt buiten het bestek van deze algebra cursus.

Voorbeelden:
1.
Schrijf log(5) als natuurlijke logaritme:
log(5) = ln(5) / ln(10) = 0,434ln(5)

2.
Schrijf C = 60.0,96^t als e macht {afkoelend theekopje, C : graden Clsius}
e^p = 0,96
ln(e^p) = ln(0,96)
p = -0,04082
C = 60e^-0,04082t
De relative groeisnelheid is dus -0,04082 (negatief, want afname temperatuur)

3.
In programmeertaal Delphi kan deze berekening niet direct worden gemaakt: 5^0,321.
Wel is mogelijk ln(...) of exp(....) waarmee de e-macht wordt bedoeld.
Hoe dit op te lossen?
Stel e^x = 5^0,321...dus
x = ln(5³²¹) = 0,321 ln(5)...zodat we in plaats van 5^0,321 schrijven: exp(0.321*ln(5))
Opmerking: "." in plaats van "," wegens de Engelse taal.

Test

Nog geen test beschikbaar.

Commentaar
Klik [hier] voor een e-mail bericht met uw

suggesties
commentaar
correcties

---

OneStat