Een tellertje met 1 cijfer
Hieronder zie je een tellertje afgebeeld. Dat kan elektronisch werken, met transistoren,
of mechanisch, met tandwieltjes, maar dat is hier niet belangrijk.
Beschrijving:
To : de naam van het tellertje
0 : de huidige stand
0...4 : de laagste en de hoogste stand
De pijl stelt het signaal voor, dat de teller verhoogt.
Je kunt dit signaal zelf geven door op het verhoog knopje te drukken.
(niet te snel achter elkaar drukken, het programma is niet zo snel)
Het reset knopje zet het tellertje weer terug in de laagste stand.
vraag 1
druk op reset en daarna een aantal keren op verhoog
noem het aantal keren dat je de teller verhoogt N.
Welke stand zal de teller aanwijzen als
a. N = 5
b. N = 10
c. N = 37
d. N = 1239
Stel, dat de teller op 3 staat,
e. wat zegt dat over N
De overgang van 4..0 noemen we "over de kop" gaan.
Hoeveel keer gaat de teller "over de kop" als
f. N = 11
g. N = 27
h. N = 3451
De wiskundige notatie
Er zijn 5 afzonderlijke standen: 0, 1, 2, 3, 4.
Het tellertje staat na 5 verhogingen weer op 0.
Dit telwerk wordt daarom een modulo 5 telwerk genoemd.
Er zijn natuurlijk ook modulo 2,3,4,....tellers denkbaar.
Turven is een streepje zetten voor elke keer dat een gebeurtenis plaatsvindt.
Op het verhoog knopje drukken staat gelijk aan turven.
Stel, dat er N maal is geturfd (verhoogd na een reset) en de tellerstand is T.
Om, uitgaande van N, de berekening van T op te schrijven is een nieuwe operator nodig : mod.
(al bekende operatoren zijn + , - , x , / )
T = N mod 5
opmerking:
mod is een afkorting van "modulus"
T = N mod 5 betekent dus: een modulo-5 telwerk staat na N verhogingen in de stand T.
We gebruiken de operator div om, uitgaande van N,
op te schrijven hoeveel keren (C) de teller over de kop ging.
C = N div 5
opmerking:
div is een afkorting van het Engelse "divide",
en C van Carry (overdracht)
C = N div 5 betekent dus: een modulo-5 telwerk is na N verhogingen C maal over de kop gegaan.
De operatoren mod en div worden bij het programmeren van computers veel gebruikt.
"div" berekenen
Elke keer dat we 5 bijtellen, zal de teller een keer over de kop gaan.
C is daarom het aantal 5 tallen, dat we van N kunnen aftrekken, dus
C =
N
5
waarbij de rest (of de cijfers achter de komma) worden weggelaten.
Voor een modulo m teller geldt (m = 2,3,4,.......)
C =
N
m
waarbij de cijfers achter de komma worden weggelaten.
Voorbeeld:
We berekenen, uitgaande van een modulo-17 teller: 1274 mod 17.
1274 / 17 = 74,94...zodat:
1274 div 17 = 74.
"mod" berekenen
Als we 5 bijtellen, zal de stand van een modulo 5 teller niet veranderen.
N kan met veelvouden van 5 worden verhoogd of verlaagd, maar T blijft gelijk.
Stel, dat 27 mod 5 moet worden berekend, dan kunnen we net zo goed
(27-5) mod 5 berekenen of (27-10) mod 5, dat levert hetzelfde antwoord op.
Bij de berekening van N mod 5 trekken we k maal (k = 0,1,2,3,....) 5 af, tot het verschil
kleiner is dan 5.
T = N mod 5 betekent dus: N - k.5 = T.
T is de rest bij deling van N door 5.
Algemeen, bij een modulo m teller:
T = N mod m betekent N - k.m = T (k = 0,1,2,3,......)
Als we bij N - k.m = T links en rechts door m delen dan:
N
m
− k =
T
m
k is het aantal "helen" in het quotient N/m. k weghalen uit N/m levert dus op T/m, een breuk.
T is dan te verkrijgen door met m te vermenigvuldigen.
Soms moet, wegens onnauwkeurigheid, een kleine afronding plaatsvinden.
voorbeeld:
we berekenen 37821 mod 31.
37821 / 31 = 1220,032258.
Haal de helen weg: dat levert 0,032258.
vermenigvuldig met 31, dat levert: 0,032258 * 31 = 0,99999.... afgerond 1
zodat 37821 mod 31 = 1.
vraag 2
bereken:
a. 13 mod 4
b. 13 div 4
c. 888 mod 11
d. 9876 div 19
In een parkeergarage is plaats voor 852 personenauto's.
Een bus neemt de plaats in van 6 personenauto's.
Stel, dat de parkeerplaats vol staat met bussen:
e. hoeveel bussen staan er dan
f. hoeveel personenwagens kunnen er nog bij
Je betreed een bouwmarkt om voor 2500 Euro zoveel mogelijk potten verf te kopen.
Een pot kost 17 Euro.
h. hoeveel potten kan je kopen
i. hoeveel wisselgeld ontvang je.
G gestrande treinreizigers moeten met bussen naar hun bestemming worden vervoerd.
Elke bus biedt plaats aan R reizigers.
j. bedenk een formule voor het aantal busritten.
In een parkeergarage staan alle auto's op een rij.
Er is plaats voor 400 auto's.
Bezoekers mogen op een plaats naar keuze parkeren.
Dan komt een vrachtwagen aan. Die heeft de ruimte van 6 personenwagens nodig.
De chauffeur informeert bij de beheerder (een wiskundige) of er plaats is.
Die antwoordt: "misschien".
k. hoeveel personenwagens kunnen reeds maximaal in de garage staan
l. en hoeveel moeten er minimaal aanwezig zijn
