het punt van Torricelli

Inleiding
Torricelli was een Italiaans wis- en natuurkundige, die leefde van 1608 - 1647.
Hij was assistent van Galilei en volgde hem op als mathematicus van de groothertog van Toscane.
Het meest bekend is Torricelli geworden om het meten van de luchtdruk.
Het naar hem genoemde "Punt van Torricelli" is het punt, waarvoor de som
van de afstanden tot drie gegeven punten minimaal is.
De Franse wiskundige Fermat had dit probleem aan hem voorgelegd.

De Constructie
Gegeven zijn de punten A, B en C.
Gevraagd: het punt T, waarvoor TA + TB + TC minimaal is.

De constructie van T is verbazend eenvoudig.
Zie fig. 1
    fig. 1


    1. zet gelijkzijdige driehoeken op de zijden van DABC
    2. noem de toppen A',B' en C'.
    3. T is het snijpunt van de lijnen AA',BB'en CC'.
Opmerking:
    Cirkel de lengtes van de zijden om vanuit A, B en C.
    A', B'en C' zijn de snijpunten van de cirkelbogen.
Het Bewijs
Dit bewijs is een bijzonder fraai stukje meetkunde.
De aanpak is als volgt:
    door slimme rotatie tonen we aan, dat TA + TB + TC = BB'
    en omdat een rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten,
    is T het punt van Torricelli;
Maar eerst vragen we ons af waarom AA', BB' en CC' door 1 punt gaan.

Daarvoor tekenen we eerst de omgeschreven cirkels van DACB' en DBA'C

De omgeschreven cirkel van DACB' construeer je als volgt:
(zie fig. 2)
    1. teken een cirkelboog met middelpunt C en een straal van ongeveer 0,7 * CB'
    2. teken eenzelfde cirkelboog, nu met middelpunt B'
    3. noem de snijpunten van de cirkelbogen S1 en S2
    4. trek de lijn S1S2 , de middelloodlijn van CB'
    5. construeer ook de middelloodlijn van AB'
    6. noem het snijpunt van de middelloodlijnen M
    7. M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van DACB'
Opmerking:
    elk punt op de middelloodlijn van AB' ligt evenver van A als van B'.
    elk punt op de middelloodlijn van CB' ligt evenver van C als van B'.
Construeer ook de omgeschreven cirkel van DBA'C.
Noem het snijpunt van de cirkels W.
Teken hulplijnen van W naar elk ander punt.

Klik op "start" (fig. 2) om de constructie stap voor stap te zien.
    fig. 2


Bekijk fig.2
    LCWA' , LA'WB , LCWB' , LAWB' zijn allemaal 600, want ze staan op
    cirkelbogen van 1200.
    (zie voor theorie het artikel de Stelling van Thales)
Uit bovenstaande volgt:
    LB'WB = 1800 , zodat W op de lijn BB' ligt.
    LAWB = 1200 , dus W ligt ook op de omgeschreven cirkel vanDABC'
Waaruit volgt:
    LAWC' = 600
    LCWC' = 1800 , dus W ligt op CC'
Het punt W is dus het punt T van Torricelli.

Door rotatie tonen we nu aan, dat TA + TB + TC = BB'.
Het middelpunt van de rotatie is het punt C.
We roteren DCTA met de klok mee over een hoek van 600.
Zie fig.3, klik op "start".
    fig. 3


Bekijk DT'TC.
Alle hoeken van DT'TC zijn 600 zodat de driehoek gelijkzijdig is.
Daarom is CT = T'T.
Ook is wegens de rotatie B'T' = AT.

Zodat AT + BT + CT = B'T' + T'T + TB = BB'.

Hiermee is de constructie van het Punt van Torricelli bewezen.