de Stelling van Thales (1)

Inleiding
    fig. 1


In fig. 1 is P een willekeurig punt op de cirkel.
AB is een middellijn.
Steeds lijkt te gelden: LAPB = 900

Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Thales.

Thales was een Grieks wiskundige, die leefde van 624 - 547 v. Chr.


We gaan dit probleem wat breder aanpakken en zullen dan ontdekken, dat
de Stelling van Thales een speciaal geval is van een meer algemene
eigenschap van hoeken op cirkelbogen.

Hoeken meten met cirkelbogen
    fig. 2


afspraak: (zie fig.2) LM1 heet de middelpuntshoek
    met boog AB = x graden bedoelen we : LM1 = x graden
De hoekwaarde van een cirkelboog is dus de grootte van de bijbehorende middelpuntshoek.

Stelling 1
(Zie fig. 3)
    een hoek, gevormd door 3 punten op een cirkel, is gelijk aan
    de helft van de boog, waarop die hoek staat.
    fig. 3


bewijs:

    in DPMA geldt : LP1 + LA1 + LM2 = 1800
    en omdat LM2 = 1800 - LM1
    LP1 + LA1 = LM1
    omdat MP = MA is ook LP1 = LA1 2 * LP1 = LM1
    zodat LP1 = LM1 / 2
    en LP1 = (boog AC) / 2
    op dezelfde manier LP2 = (boog BC) / 2
    zodat LP12 = (boog AB) / 2

In woorden:
    een hoek op een cirkelboog is gelijk aan de halve boog waarop die hoek staat
Opgave 1.
a.
Waarom klopt de Stelling van Thales, als stelling 1 is bewezen?
b.
Toon aan, dat de stelling ook klopt als de punten B en C aan dezelfde kant van de
middellijn PC liggen.
c.
Waarom staat de raaklijn aan een cirkel loodrecht op de straal?
d.
De hoekpunten van een vierhoek liggen op een cirkel.
Welke eigenschap hebben de overstaande hoeken?
e.
Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een punt P buiten de cirkel.
Door P moeten raaklijnen aan de cirkel worden getekend.
Gebruik passer en liniaal om nauwkeurig de raakpunten te bepalen.

Stelling 2.
Als de hoek binnen de cirkel ligt:
    fig. 4


In fig. 4 is P het snijpunt van de lijnen AC en BD.
De hoek tussen de lijnen is a.

Stelling 2:
    a = (boog AD + boog BC) / 2
Bewijs:
    Trek de hulplijnen AB en CD.
    LA = (boog BC) / 2 {stelling 1}
    LB = (boog AD) / 2 {stelling 1}
    a = LA + LB = (boog BC + boog AD) / 2
Opgave 2.
a.
Beredeneer, dat stelling 1 een speciaal geval is van stelling 2.