Twee handige Meetkunde Stellingen

Stelling 1

Als twee driehoeken een gelijke hoek hebben, dan verhouden hun oppervlakten zich
als het product van hun zijden om die hoek

Gegeven

DABC en DADE met gelijke LCAB
zie figuur 1.

Opmerking: met [ABC] wordt bedoeld de oppervlakte van driehoek ABC

Te bewijzen:

    [ABC] : [ADE] = (AB.AC) : (AD.AE)

Bewijs:

Trek hoogtelijnen CF en EG.
CF = h en EG = H

[ABC] =
h.A B
2
[ADF] =
h.A D
2

[A B C]
[A D E]
 = 
h.A B
H.A D

maar DAFC ~ DAGE............zodat...........

h
H
 = 
A C
A E

[A B C]
[A D E]
 =
A C.A B
A E.A D


Stelling 2.

In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de overstaande zijde
in delen die zich verhouden als de zijden om die hoek.

Gegeven:

DABC met deellijn CD
Zie figuur 2.

Te Bewijzen:

    AC : BC = AD : BD

Bewijs

LACD = LDCB zodat we de hierboven bewezen stelling kunnen gebruiken.

[A D C]
[D B C]
 =
A C.D C
B C.D C

maar ook is natuurlijk

[A D C]
[D B C]
 =
h.A D
h.B D
 = 
A D
B D

zodat

AD : BD = AC : BC