de Remweg van een auto

Inleiding

In dit artikel wordt een formule afgeleid voor de remweg van een auto.
Verrassend : de berekening is dezelfde als de oppervlakte van een driehoek.
Waaruit maar weer blijkt, dat wiskunde een abstract vak is.

Beweging

De tijdsduur (t) wordt gerekend in seconden.
De afgelegde weg (s) is in meters.
De snelheid (v) heeft als dimensie m/sec (meters per seconde).
Bij gelijke snelheid v geldt dus :
    s = v.t

Vertraging

Bij constante vertraging zal de snelheid per seconde met een gelijke hoeveelheid afnemen.
Noemen we die afname (per seconde) a , dan is de totale afname na t seconden dus
    a.t
Als een auto op tijdstip t = 0 een snelheid heeft van v0 m/sec
waarna er op de rem wordt getrapt en de auto a m/sec per seconde vertraagt dan is
    v = v0 - a.t
Als de auto stilstaat, dan is v0 - a.t = 0 zodat de remtijd:
    t = v0 / a
Het verband tussen snelheid en tijd vanaf afremmen kunnen we in een grafiekje weergeven

de remweg

Nu weten we op elk moment na het afremmen wel de snelheid, maar nog niet de totale remweg.
Want het probleem is dat de snelheid voortdurend afneemt.

Wanneer een wiskundige een nieuw (onopgelost) probleem tegenkomt, dan is een mogelijke aanpak
het probleem te verbouwen naar een situatie die wel een oplossing heeft.

Wat we wel weten is de afgelegde weg bij gelijkblijvende snelheid: s = v.t
In bovenstaande grafiek laten we de snelheid trapsgewijs verlopen in plaats van schuin
Van elk rechthoekje is de hoogte de snelheid en de breedte de tijd, zodat
de oppervlakte de afgelegde weg voorstelt.
Door alle oppervlaktes op te tellen krijgen we dus een benadering van de totale remweg.

Een minder slechte benadering ontstaat door de trapjes kleiner te nemen:
Nemen we de trapjes steeds kleiner, dan nadert hun totale oppervlakte tot de oppervlakte van de driehoek.
Die oppervlakte is dus precies de remweg.
Omdat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan basis x hoogte / 2 is dus de remweg
(basis t = V0 / a, hoogte V0)
     
    S    		 
     = 
    V0
    a
     V0
    2
zodat de remweg
    S = 
    V0 2
    2 a
Als eerste valt op, dat de remweg kwadratisch toeneemt met de snelheid:
Een tweemaal zo hoge snelheid geeft een viermaal zo lange remweg.

Dat is ook in een grafiek te zien:
Als het punt V0 op de vertikale as een stukje omhoog schuift,
dan schuift op de horizontale as het punt t naar rechts.
De schuinte van de lijn geeft de grootte aan van de remvertraging a en die verandert niet.

Voorbeeld

De snelheid van een auto wordt aangegeven in kilometers per uur.
Eerst is dus een omrekening nodig van kilometers per uur naar meters per seconde.
Nu is 1 kilometer 1000 meter en 1 uur is 3600 seconde dus 1 km/uur = 1000/3600 m/sec
en 1 m/sec = 3,6 km/uur.

De wettelijke minimum remvertraging van personenauto's is : 5,8m/sec / sec.

Bij een snelheid van 100 km/uur = 100 * 1000 / 3600 = 27,77 m/sec is dan de remweg
    S = 27,772 / (2 * 5,8) = 66,48 m.