Diagonaalvlakken in een kubus

Hieronder staan alle diagonaalvlakken in een kubus getekend.
Elk diagonaalvlak gaat door 2 (evenwijdige) ribben.
Omdat er 12 ribben zijn, zijn er dus 12/2 = 6 diagonaalvlakken.

We vragen ons nu het volgende af:
als een houten kubus wordt doorgezaagd over alle zes diagonaalvlakken,
hoeveel ruimtelijke figuurtjes ontstaan er dan en wat is hun vorm?

Deze opgave staat in een wiskundeboekje van het Voortgezet Onderwijs.
(Pascal 1HAVO/VWO).
Het antwoordenboekje geeft als antwoord : 64.
Op het eerste gezicht lijkt dit redelijk:
bij elk vlak zagen we alles door midden zodat de reeks ontstaat : 1 , 2 , 4, 8 , 16 , 32 , 64
na over het zesde vlak te hebben gezaagd.

Toch moet bij een wiskundige dan een waarschuwingslampje gaan branden.
Een kubus heeft zes vlakken.
Er verandert niets, als we de kubus op een ander vlak neerzetten.
Daarom verwachten we in het antwoord een getal met daarin een factor 6.
En die is er niet. 64 is niet deelbaar door 6.

Ook kan een kubus op hetzelfde grondvlak op vier verschillende manieren met een zijvlak
naar voren worden neergezet.
We verwachten dus ook een factor 4 in het antwoord.

Samenvattend:
    het antwoord moet een veelvoud van ggd(6,4) = 12 zijn.
Tijd om te onderzoeken hoe het zit.

Maar eerst een paar basisregels uit de stereometrie ( = ruimtemeetkunde) :
    1. als van een lijn 2 punten in een vlak liggen, dan ligt die lijn geheel in dat vlak
    2. 2 snijdende lijnen liggen in precies 1 vlak
    3. een lijn die loodrecht staat op een vlak, staat loodrecht op elke lijn in dat vlak
Bekijk nu de figuur hieronder:
Hierin zijn getekend :
    diagonaalvlakken ACGE , DBFH met snijlijn WU
    diagonaalvlakken ABGH , EFCD met snijlijn VX
T is het snijpunt van WU en VX en T ligt (om redenen van symmetrie) in elk diagonaalvlak.
Merk op, dat diagonaalvlakkken AFGD en EBCH niet zijn getekend om
de tekening overzichtelijk te houden.

Beschouw nu het punt A:
    A ligt in vlak ABGH, dus AT ligt in ABGH
    A ligt in vlak ACGE, dus AT ligt in ACGE
    A ligt in vlak AFGD, dus AT ligt in AFGD
    conclusie:
    AT is de snijlijn van ABGH , ACGE en AFGD
Zo is ook de lijn BT de snijlijn van DBFH , ABGH en EBCH.

Het kleinste lichaam dat hier ontstaat is de piramide T.ABU,
die door geen vlak wordt doorsneden en waarvan de grensvlakken worden gevormd
door de diagonaalvlakken en het grondvlak.

Het grondvlak wordt zodoende bedekt door de piramides
    T.ABU , T.BCU , T.CDU en T.DAU
Elk vlak van de oorspronkelijke kubus ABCD.EFGH wordt bedekt door 4 van deze piramides.

Zodat er 6 * 4 = 24 kleine piramides zijn.
Hieronder tot slot een paar foto's van de constructie.

Opgaven

1. teken de uitslag van T.ABU , gegeven de afmetingen van de kubus.

2. beredeneer uit het verkregen resultaat dat de inhoud van een piramide gelijk is aan
    oppervlakte grondvlak * hoogte / 3