 |
Algebra probleem (28) |  |
 |
Opgave
Bewijs, dat n3+5n {n=1,2,3,...} deelbaar is door 6.Oplossing
Voor n = 1 geldt:n3+5n = 6, dat klopt.
Stel eens dat het klopt voor een bepaalde waarde van n.
Voor n + 1 onstaat:
(n+1)3 + 5(n+1) = n3+3n2+8n+6
Trek daar n3+5n van af, dat levert
3n2+3n+6=3(n2+n+2).
Dat is deelbaar door 3.
Ook is 3n2+3n+6 altijd even, een veelvoud van 2.
3n2+3n+6 is dus deelbaar door 6.
Nu hebben we bewezen dat wanneer n3+5n voor een waarde van n deelbaar is door 6
dat ook geldt voor (n+1).
Dus ook voor (n+2)...etc.
We zagen al dat het klopt voor n=1, dus ook voor n=2, 3.....etc.
Deze bewijsmethode heet "volledige inductie".
