Abstract en Concreet Wiskunde is een abstract vak. Volgens het woordenboek betekent abstract: "niet aanschouwelijk, niet als vorm voorstelbaar, onstoffelijk". Het tegenovergestelde van abstract is concreet. Hier vermeldt het woordenboek: "als vorm gedacht of voorstelbaar". Samengevat: concrete dingen zijn waarneembaar met onze zintuigen, bij abstracte zaken is dat niet het geval. Tante Helena is een concreet persoon: afhankelijk van onze relatie kunnen we haar de hand schudden dan wel omhelzen. Het begrip familie, oom of tante, is abstract. Wind, regen en hagel kunnen onze wandeling of fietstocht minder aangenaam maken en vormen zo een concreet ongerief. Het weer of het klimaat zijn daarentegen abstracte begrippen. Transport is een abstract begrip. Fietsen, auto's en vliegtuigen zijn concrete transportmiddelen. Energie of de media zijn ook abstracte begrippen. Hitte of het ochtendblad zijn concreet. Abstracte begrippen geven algemene eigenschappen of omstandigheden aan. Een getal, bijvoorbeeld 3, is abstract. Want wat stelt die 3 nu voor? Een gezin met 3 kinderen, 3 euro uitgegeven, 3 proefwerken op 1 dag, 3 liter benzine, tramlijn 3? Een berekening, zoals 3 + 2 = 5, is dus ook abstract. Het bovengenoemde gezin wordt met een tweeling verblijd. We geven nog 2 euro uit. Of we tanken er nog 2 liter benzine bij. En hier zien we het nut van abstracte kennis: wie de berekening 3 + 2 = 5 kan maken, heeft daar wat aan op verschillende gebieden. Een nadeel van abstracte kennis kan zijn, dat je niet direct ziet wat je er aan hebt. Een berekening als 3 + 2 = 5 is abstract, maar nog een stapje abstracter rekenen we met getallen die we eigenlijk nog niet weten. In plaats van het getal schrijven we dan even een letter: x, y of a, b of c. Dan ontstaan rekenregels als: 3a + 8a = 11a, 3(2a - 5b) = 6a - 15b of de ABC-formule. Bij het maken van dit soort sommen hebben we vaak geen idee, waar het op slaat. Toch is het oefenen hiermee erg zinvol. Want in de economie, natuurkunde of techniek komen veel formules voor en het is soms noodzakelijk, die wat te verbouwen alvorens ze bv. in een spreadsheet te plaatsen. Nog een stapje hoger op de abstracte ladder treffen we formules aan. We kunnen dan bijvoorbeeld algemene eigenschappen onderzoeken van lineaire, exponentiële of kwadratische functies. Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) was Ierlands grootste wiskundige. Hamilton is bekend om zijn studie op het gebied van vectoren en matrices. Aan het eind van de 19e eeuw beweerde de beroemde natuurkundige lord Kelvin, dat Hamiltons werk van geen enkel nut was. Thans kan je echter geen (technisch) boek openslaan, of er staan vectoren en matrices. Matrixrekenen is ook geknipt voor toepassing in computers. G.H.Hardy (1877 - 1947) was een Engels wiskundige, die gespecialiseerd was in de getaltheorie. Een moeilijk onderwerp, waarvan hij beweerde dat het erg interessant was, maar van geen enkel nut. Toen echter de tweede wereldoorlog uitbrak, had het leger behoefte aan manieren om geheime berichten te verzenden. En de vijandelijke berichten moesten worden ontcijferd (gekraakt). En ziet, de getaltheorie kwam goed van pas bij het versleutelen. Thans speelt de getaltheorie een onmisbare rol bij de beveiliging van electronisch betalingsverkeer. Iets nieuws bedenken kan erg leuk zijn, ondanks slapeloze nachten met gepieker. De meeste nieuwe dingen zitten vol fouten. Het kost vaak grote inspanning, om al die fouten te lokaliseren en te verhelpen. Veiliger is het een bestaand ontwerp te kopiëren. Dat levert geen risico op. En hier toont zich weer een voordeel van abstracties: die zijn op uiteenlopende gebieden toe te passen. Dat toepassen is ook een vorm van kopiëren, dus veilig. Toepassen van een formule is het kopiëren van andermans kennis. Computers kunnen niets anders dan met formules werken, zodat een computer tevens een intellectuele kopieermachine is. Nog een voordeel van abstracte kennis is, dat beter nieuwe kennis kan worden aangeleerd. Je ziet immers sneller verbanden, die de zaak overzichtelijk houden. Zetten we de abstracte rol van getallen op een rij: rol voorbeeld aantal graden euro's liters factor verdubbeling 75% rangorde 3 sterren camping 2e van rechts adres in computergeheugen code vlucht KL493 buslijn 171 ASCII code in computergeheugen pincode Aan codes kan ook worden gerekend. Dat wordt dan gedaan om zo'n code bepaalde eigenschappen te geven. Voorbeelden hiervan zijn oa. de gewogen 11-test van bankrekeningnummers, of automatische foutcorrectie in computergeheugens of CD spelers. Wie technische computerkunde studeert ontmoet daar het vak 'datastructuren'. Die kennis is nodig om met getallen (bv. allerlei soorten tabellen) in een computer een beeld van de werkelijkheid op te bouwen. Want computers kunnen alleen getallen bevatten. Omgekeerd kan een probleem, dat niet in getallen is om te zetten, niet door een computer worden opgelost. Wie een wandeling in de natuur maakt, komt nooit een klasje konijnen of kraaien tegen. Toch moeten die dieren wel het een en ander leren voor ze op eigen poten kunnen staan. Dat leren doen ze op de natuurlijke (abstract begrip) manier: zien en nadoen, vallen en opstaan. Ook in de mensenmaatschappij is deze manier van leren voor veel zaken erg geschikt. Zo leren we lopen, de taal en hopenlijk ook goede manieren, evenals autorijden. Het besturingssysteem voor computers, Windows, laat mensen op deze manier werken. Dat kan dankzij de UNDO knop. Een fout is meestal niet erg omdat er direct herstel mogelijk is. Het tegengestelde van natuur is (het abstracte begrip) cultuur. In onze cultuur kan UNDO soms een kostbare zaak zijn: instortende gebouwen, exploderende tanks met chemische stoffen, mislukte lancering van een satelliet.... In deze gevallen dienen fouten te worden vermeden. Dat kan, door de processen te analyseren en te voorspellen. Rekenen is een manier van voorspellen. Zodat abstracte kennis onontbeerlijk is om schade te vermijden. Oeps? UNDO! is niet aan de orde als er mensenlevens op het spel staan. Een simulator verenigt de voordelen van natuurlijk leren en analyse. Voordat de eerste Amerikaanse astronauten op de maan landden, hadden ze die landing al honderden malen geoefend in een simulator boven een van piepschuim nagebootst maanlandschap. Voor het leren van abstracte kennis en analyse is de school geschikter dan de praktijk. Op de basisschool wordt schrijven en rekenen aangeleerd: abstracte vaardigheden. En in het voortgezet- en beroepsonderwijs moet het abstractieniveau worden verhoogd om de techniek te begrijpen die de basis vormt van onze welvaart. Analytische vaardigheden zijn onontbeerlijk voor de veiligheid. Tevens helpen ze verspilling (bv. van belastinggeld) te voorkomen.