Absoluut en Relatief

"Absoluut!" roepen we uit om onze instemming met de spreker te tonen.
"Alles is relatief", merken we op in een bespiegelende stemming.
Maar wat wordt nu in de wiskunde met deze woorden bedoeld?

Opslag

Jansen verdient per maand 2000 euro en krijgt 250 euro opslag.
Pietersen verdient per maand 3600 euro en krijgt 300 euro opslag.

We vragen ons af bij wie van bovenstaande personen de blijdschap het grootst
is. En of de mate van vreugde in een getal is uit te drukken.

Pietersen krijgt de meeste opslag maar verdiende al fors meer. Daarom
zullen de nieuwe consumptieve mogelijkheden van Pietersen niet voor grote
veranderingen in de levensstijl zorgen.
Jansen, die gewend is op de kleintjes te letten, kan zich nu uitspattingen veroorloven die
voorheen niet verantwoord waren.
De meeste lezers zullen dus wel verwachten, dat de blijdschap van Jansen groter
is dan die van Pietersen.

Absoluut

Met absolute aantallen wordt in de wiskunde gewoon de grootte bedoeld.
Jansen ontving een absolute opslag van 250 euro.
Als een auto-importeur de prijzen van alle modellen met 1000 euro verlaagt,
dan is dit een absolute verlaging.

Relatief

Het woord relatief betekent : in vergelijking met iets anders.
Wat is de relatieve opslag van Jansen? Waarmee moet die opslag worden
vergeleken? Het ligt voor de hand om die te vergelijken met wat werd verdiend
voor de opslag.
2000 euro leverden een opslag van 250 euro. Voor elke euro, die Jansen verdiende
worden er nu 1 + 250/2000 = 1,125 euro's ontvangen. Een toename van 12,5%.

Pietersen ontvangt voor elke euro nu 1 + 300/3600 = 1,083 euro's, een opslag
van 8,3%.
Daarom is Jansen ook blijer: de relatieve opslag is groter.

Nog een voorbeeld

Jansen reed per jaar 14000 km. Maar door de gestegen levensstandaard zijn dat
nu 18000 km. per jaar geworden.
De absolute toename is 18000 - 14000 = 4000 km. per jaar.
De relatieve toename is 4000/14000 * 100% = 28,6%.
Voor elke gereden kilometer vroeger, rijdt Jansen er nu 1,286

Veranderingen

Als een auto-importeur de prijzen met 5% verhoogt, dan moet de prijs van elke
auto met 1,05 worden vermenigvuldigd.
Verhoogt hij alle prijzen met 1200 euro, dan moet dit bedrag bij de prijs van
elke wagen worden opgeteld.

Samenvattend:

Optellen levert een absolute verandering op
Vermenigvuldigen levert een relatieve verandering op
Een relatieve verandering is gelijk aan de absolute verandering van de eenheid

Zin en Onzin

Stel eens, dat een krant kopt: "80% van alle in ons land verblijvende Eskimo's
is ziek". Een zeer hoog relatief aantal. Toch kan de ernst nog wel meevallen:
er verblijven precies 5 Eskimo's in het land, waarvan er 4 een verkoudheid
hebben opgelopen. Weinig aan de hand dus.
Even verder lezen we in dezelfde krant: "miljoenen teken in duinterrein drager
van de ziekte van Lyme". Ook dit bericht is nietszeggend. Hoeveel kans bestaat er
door een tekenbeet besmet te raken? Dan moet je weten welk percentage van alle teken
drager is.
Ook de opmerking, dat een kwalijk verschijnsel met 100% is toegenomen zegt niet veel.
Neem bijvoorbeeld het aantal personen in de wereld, dat jaarlijks dodelijk
wordt getroffen door een losgelaten vliegtuigonderdeel.
Als dat er een was in 2000 en twee in 2001 is dat een stijging van maar liefst
100%.
Wel alarmerend zou het bericht zijn, dat een nieuw griepvirus 1% kans geeft
op ernstige complicaties. Gezien het aantal mensen dat jaarlijks besmet raakt,
zou de gezondheidszorg bezwijken onder de hoge (absolute) aantallen patienten.

Fouten

Bij absolute- of relatieve verandering van prijzen of salarissen hebben we
te maken met preciese getallen.
In de praktijk verkregen meetresultaten zullen echter altijd een zekere
onnauwkeurigheid bevatten.
Als het gewicht van een potje met jam op de gram nauwkeurig wordt bepaald
op 265 gram, dan kan het gewicht elke waarde hebben tussen de 264 en 266 gram.

Algemeen:
Als een meting x wordt verkregen met een nauwkeurigheid a dan bevindt de
werkelijke waarde zich tussen x-a en x+a.
a heet de absolute fout.
De relatieve fout (onnauwkeurigheid) is dan r = a/x.
(Immers: x moet dan worden vermenigvuldigd met a/x om de fout a te krijgen)
Als een meting de waarde x oplevert bij een relatieve fout van r, dan ligt
de echte waarde ergens tussen de x-xr en x+xr of: x(1-r) en x(1+r).
Ook hier: absolute fout: optellen, relatieve fout: vermenigvuldigen.

Rekenen met fouten

Als meetresultaten in formules worden gebruikt, wat gebeurt er dan met de
nauwkeurigheid?

We gaan uit van meetwaarden x (absolute fout a, relatieve fout r) en
meetwaarde y (absolute fout b en relatieve fout s) en een preciese constante c.

1.vermenigvuldigen met constante waarde:

x-a wordt c(x-a)=cx-ca
x+a wordt c(x+a)=cx+ca

Conclusie: de fout wordt ook met c vermenigvuldigd.

2.twee meetwaarden optellen:

(x-a)+(y-b)=(x+y)-(a+b)
(x+a)+(y+b)=(x+y)+(a+b)

Conclusie: bij optelling moeten de absolute fouten worden opgeteld.

Wat er gebeurt met de fout als het verschil van twee meetwaarden wordt
berekend, laat ik aan de lezer over.

3.Vermenigvuldigen van twee meetwaarden.

x(1-r)*y(1-s)=(x-xr)(y-ys)=xy-xy(r+s)-xyrs
x(1+r)*y(1+s)=(x-xr)(y-ys)=xy+xy(r+s)+xyrs

Conclusie: bij vermenigvuldiging moeten de relatieve fouten worden opgeteld.

4.Delen van twee meetwaarden.

(x(1-r))/(y(1+s)) = (x/y)*(1-r)/(1+s) = ongeveer (x/y)*(1-(r+s))
(x(1+r))/(y(1-s)) = (x/y)*(1+r)/(1-s) = ongeveer (x/y)*(1+(r+s))

Conclusie: ook bij delen moeten de relatieve fouten worden opgeteld.

opmerking :
(1-r)/(1+s) = 1 - r - s + rs + s² - rs²....voor r,s < 1.

Dramatisch grote relatieve fouten kunnen optreden bij het verschil van twee meetwaarden:
als x = 198 gram, y = 202 gram, bij een relatieve fout van 1%, dan is de relatieve fout
van het verschil (1,98 + 2,02)/(202-198) = 100%, een volstrekt onbruikbaar getal.

Constante absolute groeisnelheid

Als een grootheid K (zoals afstand, temperatuur, inhoud enz.) per tijdseenheid
met eenzelfde waarde m toeneemt dan is de grootte K_t na tijdsduur t :

K_t = K₀ + m.t

(K₀ is de grootte op tijdstip 0)

m heet richtingscoëfficiënt of hellingsgetal.
Een constante absolute groeisnelheid levert een lineair verband.

Constante relatieve groeisnelheid

Dit houdt in, dat de grootheid K per tijdseenheid met eenzelfde
factor wordt vermenigvuldigd, de groeifactor g, zodat

K_t = K₀.g^t

Een constante relatieve groeisnelheid levert een exponentieel verband.
Er moet onderscheid worden gemaakt tussen "stapgewijze" groei, zoals
bij kapitaal en jaarlijks uitgekeerde rente en "geleidelijke" groei zoals bij
algengroei of bacteriën populaties.
Bij "geleidelijke" groei worden exponentiële functies vaak geschreven
met het grondtal e in plaats van de groeifactor g.

K_t = K₀.e^p.t

Bij een groeifactor g hebben we het over de relatieve verandering over de tijdseenheid,
bij de e-macht betekent de factor p in de exponent dat de relatieve groeisnelheid op elk
moment gelijk is aan p, de richtingscoëfficiënt / momentele waarde.

Merk op, dat de relatieve groeisnelheid gelijk is aan de absolute groeisnelheid van
de eenheid. En dat het aantal eenheden voortdurend toe- of afneemt.

Een constante relatieve groeisnelheid van p, levert een groeifactor g = e^p.

Het getal e ontstaat als volgt:
ga uit van een waarde 1 op t=0 en een relatieve groeisnelheid van 1.
Dit houdt in, dat steeds de richtingscoëfficiënt gedeeld door de grootte
gelijk is aan 1.

Over een tijdsinterval 1 zal, bij ongewijzigde absolute groeisnelheid,
de waarde dan verdubbelen, K₁ = 1 + 1
Deze uitkomst is onnauwkeurig want naarmate K toeneemt neemt ook de absolute
groeisnelheid toe.

Knip daarom het tijdsinterval 1 in twee stukjes van 0,5.
Bij constante absolute groei 1 zal na tijdsduur 0,5 gelden K_0,5 = 1 + 0,5
K is in tijdsduur 0,5 van 1 tot 1+0,5 gegroeid, de -constante- groeifactor
blijkt dus 1+0,5 te zijn en is dat natuurlijk ook in het tweede tijdsinterval 0,5.
Na het tweede interval 0,5 geldt K₁ = (1 + 0,5).(1 + 0,5) = (1 +0,5)²
Deze uitkomst is al iets minder slecht, maar het kan nog veel beter:
knip het interval in 10 delen van 0,1.
Na tijdsduur 0,1 geldt: K_0,1 = 1 + 0,1
0,1 later : K_0,2 = (1 + 0,1)²
0,1 later : K_0,3 = (1 + 0,1)³
en op tijdstip 1: K₁ = (1 + 0,1)¹⁰

Verdelen we het tijdsinterval in n zeer kleine stukjes, dan

K₁ = (1 + 1/n)ⁿ

Voor zeer hoge waarden van n blijkt 2,71828... een grens voor K te zijn waar we niet
overheen kunnen, dit is het getal e.
Bij exponentiële groei levert een relatieve groeisnelheid 1 een groeifactor g = e op;
Als de relatieve groeisnelheid niet 1 is maar p, dan is de groeifactor g = e^p.
De lezer mag dit zelf nagaan.

De eenvoudigste e-macht is de functie y = e^x.
Deze functie heeft een beginwaarde (op t=0) van 1 en een relatieve groeisnelheid van 1.
Ga maar na: we bekijken het interval 3..3,0001 van x en veronderstellen
de groeisnelheid even constant.
Die groeisnelheid is dan (e^3,0001 - e³) / 0,0001 = 20,0865...terwijl e³ = 20,0855.

In de techniek, zoals de elektronica, worden e-machten zeer veel gebruikt.